Morfologické transformácie

5. Morfologické transformácie

5.1 Definícia

Matematická morfológia predpokladá, že obraz sa dá modelovať pomocou bodových množín. Definičným oborom pre popis dvojrozmerných útvarov je dvojrozmerný euklidovský priestor E² a systém jeho podmnožín. Základným prvkom pre binárnu matematickú morfológiu je usporiadaná dvojica celých čísel, pre šedotónové obrazy usporiadaná trojica.
Binárny obraz môžeme vyjadriť ako 2D bodovú množinu. Množina X bude obsahovať body s hodnotou 1 – body objektu, X^c body s hodnotou 0 – body pozadia.

5.1 Príklad bodovej množiny.

Morfologická transformácia Y je relácia medzi bodovou množinou X a štrukturálnym elementom B. Štrukturálny element je tiež bodová množina, ale skladá sa z menšieho počtu bodov. Obsahuje jeden význačný bod O, ktorý sa nazýva reprezentatívny bod.
Typické štrukturálne elementy:

5.2 Typické štrukturálne elementy.

Translácia bodovej množiny X o vektor h sa označuje X_h a je definovaná vzťahom:

X_h= {pÎE² , p=x+h , xÎX}

5.2 Dilatácia a erózia

Dilatácia je relácia Å , ktorá skladá body dvoch množín pomocou vektorového súčinu.

X Å B={ pÎE2 : p=x+b , xÎX , bÎB }

5.3 Bodová množina, štrukturálny element, dilatácia.

Dilatácia zväčšuje objekt, zaplňuje malé diery a úzke zálivy.
Vlastnosti dilatácie:

                Komutatívnosť    X Å B = B Å X
                Asociatívnosť     X Å ( B Å D ) = ( X Å B ) Å D
                Dilatácia je zjednotenie posunutých bodových množín:            X Å B = U_b_ÎBX_b                invariantnosť vzhľadom na posunutie           X_h Å B = ( X Å B )_h             X Í X Å B              X Í Y Þ X Å B Í Y Å B

5.4 Simulácia dilatácie.

Erózia je relácia Q definovaná:

X Q B = { pÎE² : p+bÎX pre " bÎB } = { pÎE² : B_pÍX }

Bod p patrí do množiny X Q B, ak pre každý bod b z množiny B, p+b patrí do množiny X, alebo ak B posunutí o vektor p patrí celý do X.

5.5 Bodová množina, štrukturálny element, erózia.

Erózia zjednodušuje štruktúru objektu, stenšuje objekty, pričom príliš tenké a malé sa stratia.
Vlastnosti erózie:

                Nie je komutatívna              X Q B ¹ B Q X
                 Asociatívnosť     X Q ( B Q D ) = ( X Q B ) Q D
                je prienikom všetkých posunutých množín X_-b             X Q B = Ç_bÎB X_-b              invariantnosť vzhľadom na posunutie           X_h Q B = ( X Q B )_h                                                                                   X Q B_h = ( X Q B )_-h                X Q B Í X                 X Í Y Þ X Q B Í Y Q B
                D Í B Þ X Q B Í X Q D

5.6 Simulácia erózie.

Ďalšie vlastnosti erózie a dilatácie:
· Prienik:

( X Ç Y ) Q B = ( X Q B ) Ç ( X Q B )
B Q ( X ÇY ) Ê ( B Q X ) È ( B Å Y )
( X Ç Y ) Å B = B Å ( X Ç Y ) Í ( X Å B ) È ( Y Å B )

· Zjednotenie

B Å ( X È Y ) = ( X È Y ) Å B = ( X Å B) È ( Y Å B)
( X È Y ) Q B Ê ( X Q B ) È ( Y Q B )
B Q ( X È Y ) = ( X Q B ) Ç ( Y Q B )

· Doplnok

X^c Å B = ( X Q B )^cX Å B = (X^c Q B )^c

5.3 Otvorenie a uzatvorenie

Dilatácia a erózia nie sú navzájom inverzné transformácie. Ich kombinácia vytvára ďalšie dôležité transformácie, ako otvorenie a uzatvorenie.
Otvorenie je morfologická transformácia, ktorú získame spojením erózie a dilatácie. Otvorenie množiny X štrukturálnym elementom B sa označuje X ○ B.

X ○ B = ( X Q B ) Å B

Hovoríme, že obraz X je otvorený vzhľadom na B, ak sa X nezmení po otvorení množinou B. Otvorenie zjednodušuje objekt , lebo oddeľuje objekty spojené úzkou čiarou.

Vlastnosti:

                X ○ B = ( X ○ B ) ○ B
                X ○ B Í X
                X Í Y Þ X ○ B Í Y ○ B

Uzatvorenie je morfologická transformácia, ktorú získame spojením dilatácia a erózie. Uzatvorenie množiny X štrukturálnym elementom B sa označuje X · B.

X · B = ( X Å B ) Q B

Hovoríme, že obraz X je uzatvorení vzhľadom na B, ak sa X nezmení po uzatvorení množinou B. Uzatvorenie zjednodušuje objekt, zapĺňa malé diery a zálivy, spája objekty, ktoré sú dosť blízko k sebe.

Vlastnosti:

                X · B = ( X · B ) · B
                X Í X · B
                X Í Y Þ X · B Í Y · B

5.7 Simulácia operácie otvorenia a uzatvorenia.

5.4 Transformácia hit&miss

Doteraz popisované operácie pomocou štrukturálného elementu B testovali výskyt bodov v obraze X. Operácia hit&miss testuje aj to či niaké body do X nepatria.
Zložený strukturálný element je dvojica disjunktných množin B=(B₁,B₂), kde B₁ a B₂ sú strukturálné elementy.
Operácia hit&miss Ä je morfologická transformácia, definovaná vzťahom:

X Ä B = { x : B₁(x) Ì X a B₂(x) Ì X }

Bod x patrí do výslednej množiny, ak sú splnené dve podmienky. Časť zloženého štrukturálneho elementu B₁ s reprezentatívnym bodom v x patrí do X a B₂ v polohe x musí byť mimo X.
Operáciu hit&miss môžeme používať napr. pri hladaní hrán a rohov objektu.

Vlastnosti:

X Ä B = ( X Q B₁ ) Ç ( X^c Q B₂ )

5.8 Simulácia operácie hit&miss.
Lavé tlačidlo - B₁
Pravé tlačidlo - B₂