1. Úvod

1.1 Digitalizácia 

    Pri získavaní digitálneho obrazu dochádza k prechodu od spojitej funkcie k diskrétnej funkcií. Tento proces sa nazýva digitalizácia a odohráva sa v dvoch nezávislých krokoch, ktoré sú kvantovanie a vzorkovanie.

1.1.1 Vzorkovanie

    Vzorkovaním spojitej funkcie f(x,y), rozumieme odoberanie hodnôt - vzoriek, v rovnakých intervaloch. Spojitý obraz sa rozdelí na N riadkov a M stĺpcov. Prienik riadku a stĺpca potom  tvorí obrazoví bod. V súvislosti so vzorkovaním spojitej obrazovej funkcie sa vyskytujú dve otázky. Aký má byť interval vzorkovania? Odpoveď nám dá Shannonova veta o vzorkovaní z teórie signálov, ktorá hovorí, že vzorkovacia frekvencia musí byť aspoň dvakrát väčšia ako najvyššia frekvencia vo vzorkovanom signálu. V našom prípade to znamená, že interval vzorkovania musí byť takej veľkosti, aby bol menší alebo rovný polovice rozmeru najmenších detailov v obraze. Druhou otázkou je, že aká má byť vzorkovacia mriežka? Musí byť pravidelná a musí pokryť celú rovinu. Štvoruholníková a hexagonálna mriežka vyhovuje týmto podmienkam. V praxi sa najčastejšie používa štvoruholníková mriežka, lebo je jednoduchšie realizovateľná. Jednému vzorkovaciemu bodu odpovedá v digitálnom obraze jeden obrazový element, pixel. Proces vzorkovania teda určuje definičný obor obrazovej funkcie.

Štvorcová a hexagonálna vzorkovacia mriežka.

Vzorkovanie.

1.1.2 Kvantovanie

   Princípom kvantovania je diskretizácia oboru hodnôt obrazovej funkcie. Obor hodnôt funkcie sa rozdelí na intervaly, ku ktorým je potom pridelená jediná, zástupná hodnota. Podľa spôsobu rozdelenia kvantovacej veličiny hovoríme o uniformnom a neuniformnom kvantovaní. Uniformné kvantovanie používa konštantnú dĺžku intervalu, kým neuniformné kvantovanie premenlivú dĺžku intervalu.
Na výber zástupnej hodnoty môžeme použiť rôzne techniky. Obvykle sa používa priemer hodnôt z celého intervalu, váhovaný priemer, medián, priemer z hodnôt na okraji intervalu.

   
Kvantovanie.

1.2 Vlastnosti digitálneho obrazu

    V tejto učebnici slovo obraz, alebo šedotónový obraz bude vyjadrovať dvojrozmernú jasovú funkciu f(x,y). Definičným oborom obrazovej funkcie bude rovinná oblasť R:

                                                                                      (1)

kde x,y sú celé čísla, x_n, y_m sú maximálne súradnice. Obor hodnôt je celočiselná množina jasových hodnôt.
   V digitálnom obraze môžeme zaviesť vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Nech (i,j) (k,l) sú dva obrazové elementy, potom vzdialenosť môžeme definovať nasledujúcimi spôsobmi:

                                                                                                       (2)

                                                                                                              (3)

                                                                                                      (4)

Kde D_E je Euklidovská vzdialenosť, ktorá ale nie je vhodná pre diskrétny obraz, lebo nemusí vrátiť celé číslo. Vzdialenosti D₄, D₈ určujú najmenší počet jednotkových krokov potrebných na presun z východzieho do cieľového bodu v štvorcovej mriežke. V prípade D₄ posun je povolený len vo zvislom alebo vo vodorovnom smere. V prípade D₈ sú povolené aj diagonálne pohyby.
    Ďalším dôležitým pojmom je susednosť. Rozlišujeme 4-susednosť a 8-susednosť. 4-susedia daného obrazového elementu sú body s jednotkovou vzdialenosťou v metrike D₄. Podobne 8-susedia daného bodu sú body s jednotkovou vzdialenosťou v D₈. Tiež sa hovorí 4-okolie, alebo 8-okolie.

   Cestou z bodu P do Q nazývame postupnosť obrazových bodov A₁, A₂, .., A_n pre ktoré platí:

                                                                           (5)

    Oblasť je súvislá množina obrazových elementov, pre ktorú platí, že medzi každými dvoma bodmi existuje cesta patriaca celá do tejto množiny. Predpokladajme, že Ri sú oblasti obrazu. Nech R je oblasť ktorá vznikne zjednotením všetkých oblastí Ri. Potom R^C je množinovým doplnkom oblasti R, nazývame ho pozadím.
   Objekty sú oblasti, ktoré obvykle odpovedajú entitám zobrazovaného sveta. V jednoduchom praktickom prípade, keď má bod jas väčší ako určitý prah, priradíme ho k objektu.
   Súvislosť a susednosť definovaná na diskrétnej štvorcovej mriežke nás privedie k určitým paradoxom. Predstavme si úsečku s 45 stupňovým sklonom v digitálnom obraze. Ak uvažujeme 4-susednosť, potom táto úsečka je v každom svojom bode nesúvislá. Ďalším paradoxom je, že dve pretínajúce sa úsečky v digitálnom obraze sa len dotýkajú.

a) v prípade 4-susednosti, úsečka je v každom svojom bode nesúvislá.
b) v pravo hore sa úsečky pretínajú, kým ľavo dole sa len dotýkajú, t.j. nemajú spoločný bod.
c) z euklidovskej geometrie platí, že uzavretá krivka delí priestor na dve časti. V digitálnom obraze to ale nemusí byť pravda. Na obrázku vidíme kruh, t.j. uzavretú krivku, a úsečku ktorá ju nepretína, ale spája body z vnútra s bodmi z vonkajška.

Jedným riešením pre tieto paradoxy je použiť 8-susednosť pre objekty a 4-susednosť pre pozadie. Je to ale nepraktické riešenie. Ďalšou možnosťou je použiť hexagonálnu mriežku, v ktorej paradoxy nevznikajú. Narazíme ale na realizačný problém, pretože väčšina grafických zariadení podporuje štvorcový raster.
   Pod pojmom hranica oblasti rozumieme množinu všetkých bodov, ktoré majú aspoň jedného suseda, ktorý nepatrí do oblasti. V digitálnom obraze rozlišujeme vonkajšiu a vnútornú hranicu. Pre vnútornú hranicu potom platí predošlá definícia. Vonkajšia hranica je hranicou pozadia.